History: Manacher's algorithm
Manacher's algorithm은 문자열 내에서 팔린드롬(palindrome,회문)을 찾는것과 관련된 알고리즘이며, 시간 복잡도는 O(n)이다.(n은 문자열의 길이)
이 알고리즘은 문자열S를 입력으로 받아 다음을 반환한다:
- 문자열 S와 길이가 같은 정수 배열 A, 각 A의 원소 A[i]는 i번째 문자열을 중심으로 하는 가장 긴 팔린드롬의 반지름의 길이.(즉, S[i-A[i]:i+A[i]]는 팔린드롬이며, S[i-A[i]-1:i+A[i]+1]은 팔린드롬이 아니다)
예를 들면, S='banana'라는 입력에 대해 A의 결과는:
S | b | a | n | a | n | a |
---|---|---|---|---|---|---|
A | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 |
알고리즘은 다음과 같다:
- i는 0부터 n-1(n=|S|)까지 진행된다
- j<i인 모든 j에 대해 R=max(j+A[j])이라하고, 또한 그러한 j를 p라 하자. 즉, R=p+A[p]
- i<=R인지 여부에 따라 A[i]의 초기값이 정해진다
- i>R이라면, A[i]의 초기값은 0이다.
- i<=R이라면, i는 p를 중심으로 한 팔린드롬에 속한다는 이야기이다. 이때 p를 중심으로 i의 대칭점 i'을 구한다. (즉, i'=2*p-i) A[i]의 초기값은 A[i']과 같다.
- A[i]의 초기값에서부터, S[i-A[i]]과 S[i+A[i]]가 같을동안 A[i]를 증가시키고, 그 다음 i로 넘어간다.
의사코드로 구현하면 다음과 같다:
R = -1
p = -1
for i = 0 to n-1:
if i <= R: A[i] = 2*p - i
else: A[i] = 0
while S[i-A[i]-1] == S[i+A[i]+1]:
A[i] = A[i] + 1
if i+A[i] > R:
R = i+A[i], p = i