APIO 2012 1번(Dispatching) 질문

  • 장홍준
    장홍준

    링크 : http://www.ioi-jp.org/apio2012/tasks.html

    (원하시는 언어를 골라서 보시면 됩니다.)

    닌자 사이의 관계들은 트리의 형태로 표현되므로 동적계획법으로

    D[i][2] : i번째 닌자를 배치할 때와 않았을 때의 고객 만족도의 최댓값

    로 테이블을 정의하여 문제를 풀었는데요.

    i번째 닌자를 배치하지 않을 경우에는 그냥 자식들을 훑어주면서 값을 갱신할 수 있는데

    i번째 닌자를 배치할 경우에는 자신의 자식들 중 배치할 수 있는 최대 닌자 수를 구하는 데에 힙을 사용하여 병합하면서 해결했는데요...

    그냥 단순히 저렇게 하면 트리의 형태에 따라 많이 느리므로 병합하는 과정에서 최적화시켜주고 여러가지 불필요한 처리들은 하지 않게 하니까 모든 데이터들이 0.5초 정도 안에 나옵니다ㅠ

    이 문제를 어떻게 해결하면 더 빨리 풀 수 있을까요?


    12년 전
13개의 댓글이 있습니다.
  • Being
    Being

    앗 고등학생이다! 반가워요 :)


    12년 전 link
  • Kureyo
    Kureyo

    S_i := i번째 닌자를 매니저로 두었을때 고용되는 닌자들의 집합
    이라고 정의합시다.
    노드 p 가 부모고 그 자식들이 c1,c2,...ck라고 하면
    S_p ⊆ S_c1 ∪ S_c2 ... ∪ S_ck 임은 명백합니다.
    즉, S_p 는 모든 자식들의 집합을 합집합으로 묶은 뒤에, 그 비용 총액이 M을 넘을 동안, 합집합내에서 가장 비용을 비싼 닌자를 해고하는 것이 최선임을 알 수 있습니다.


    12년 전 link
  • Kureyo
    Kureyo

    이제 자신을 중심으로 하는 서브트리 중에서 가장 비싼 임금을 받는 닌자를 찾는 문제로 바꿀수 있습니다.

    루트가 있는 트리에서 dfs방문 순서대로 번호를 매기면 임의의 서브트리는 [s,e]형태의 구간으로 나오게 됩니다. (그림을 그려보세요)

    그럼 이제 서브 트리내에서 가장 큰 값을 찾는 문제는 구간내에서 가장 큰값을 찾는 문제로 바뀌고, 인덱스 트리를 이용하면 lg n시간에 구할 수 있습니다. 그러므로 총 걸리는 시간은 O(n lg n)입니다.


    12년 전 link
  • Kureyo
    Kureyo

    인덱스 트리가 싫다면 다음과 같은 방법을 해보셔도 괜찮습니다. 닌자의 수가 10만이나 되면 너무 많기 때문에, 대략적으로 월급 소득에 따라 그룹핑을 해봅니다.

    상위 1/3에 들면 고소득자, 그 다음은 중산층, 그다음은 저소득자 이런 식으로요. 그리고 고소득자들의 리스트, 중산층의 리스트, 저소득자의 리스트를 따로 관리합니다.

    이제 각 S_i에 대해 고소득자, 중산층, 저소득자의 숫자를 계산해둡니다. 그리고 S_i의 원소들의 임금의 총합이 높을때, 고소득자가 존재한다면 고소득자 리스트를 훑어보면서 i의 후손인지 파악합니다. (dfs 방문 번호를 이용하면 O(1)시간에 알수 있습니다.) 그래서 고소득자 중에서 가장 임금이 큰 사람을 찾아 지웁니다.


    12년 전 link
  • Kureyo
    Kureyo

    3개의 그룹 대신 G개의 그룹으로 나누었다고 생각해봅시다. 그러면 각 S_i에 대해서 G개의 그룹카운트를 합치는 시간이 필요하므로 O(NG)의 시간이 듭니다. 그리고 각 리스트를 최대 N번 탐색할수 있으므로 이때 드는 시간은 O(N*N/G)시간입니다.(리스트의 길이는 N/G이므로)

    f = NG + NN/G 를 최소화 하기 위해 G에 대해 미분해보면
    df/dG = N - N^2/G^2 = 0 , G^2 = N.
    즉, G=sqrt(N)일때입니다. 이때의 시간복잡도는 O(N^1.5)이 되므로
    약간 빠듯할수는 있지만 충분히 답이 나올수 있을것입니다.


    12년 전 link
  • Kureyo
    Kureyo

    아으 리플은 수정이 안되네 잘 이해안되는거 있으면 말씀하세요ㅜ


    12년 전 link
  • 장홍준
    장홍준

    Indexed Tree로 푸니까 힙을 썼을 때보다 소스가 훨씬 더 간결하고 빠르네요ㅠㅠ
    대회 당시에는 그냥 힙으로 병합해도 속도에 차이가 크게 없겠지 싶었는데 depth가 적당히 깊고 옆으로 넓으니 70점짜리 dataset에서 10개 데이터 중 3개가 TLE였었는데.. 두번째로 제시해주신 방법도 흥미롭네요^^ 감사합니다~


    12년 전 link
  • JongMan
    JongMan

    APIO 문제들을 AOJ 에 올리는데 저작권 문제가 없을까요? 혹시 아시는 분?


    12년 전 link
  • 장홍준
    장홍준

    공식 사이트에 데이터와 문제들이 오픈되어있고 이미 다른 외국 사이트 Judge들에 등록된 경우도 많은 걸로 압니다. IOI와 마찬가지 아닐까요?


    12년 전 link
  • kaizero
    kaizero

    아.. 2일간 고민해서 풀었는데 여기 풀이가 있었네요 ㅜ O(N^1.5)풀이는 독특한 방법이네요 ㄷ 좋은정보 알고갑니다


    12년 전 link
  • Kureyo
    Kureyo

    @JongMan 출제진도 매번 바뀌고.. 뭔가 일관된 정책은 없을거같네여


    12년 전 link
  • VOCList
    VOCList

    댓글왕 Kureyo


    12년 전 link
  • Kureyo
    Kureyo

    쑥쓰럽근여..그냥 문단별로 끊었을뿐인데 ㅡㅡ


    12년 전 link
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